Estudos de equações de condução de calor não Fourier via derivadas deformadas

Abstract

A natureza é cercada de fenômenos irregulares, com comportamentos anômalos e alto nível de complexidade. Em alguns casos a geometria euclidiana, não consegue ser precisa na descrição destes eventos. Um exemplo onde este problema pode acontecer é em processos de condução de calor. Muitos resultados são obtidos ignorando algumas características dos problemas como: as rugosidades, as ssuras, corrosão, geometria irregular ou até mesmo fractal das superfícies envolvidas. Isto pode ocasionar a perda de precisão da solução. Contudo, com uso de derivadas deformadas, é possível embutir nas equações que modelam o fenômeno as peculiaridades de diversas estruturas fractais. Resultando assim em uma descrição mais aproximada dos modelos reais. Neste estudo, foram trabalhados dois modelos de condução de calor. O modelo clássico proposto por Fourier, que mesmo com algumas inconsistências ainda é muito e ciente e utilizado, e o modelo de Cattaneo-Vernotte, também conhecido como modelo não Fourier, que surgiu para melhorar as falhas no modelo anterior. Neste trabalho, ambos foram resolvidos de maneira analítica, por meio de métodos diferentes. O objetivo disto, é que ao transformar a derivada inteira em uma derivada deformada, nas equações diferenciais, é possível mostrar que os métodos de solução continuam sendo úteis para esses novos problemas, que agora conseguem considerar irregularidades antes ignoradas. As soluções foram também validadas, essas soluções analíticas por meio de uma breve comparação numérica, usando o conhecido método de diferenças nitas. Neste trabalho, foi apresentado também, por meio do cálculo variacional, maneiras de obter as equações de condução de calor aqui abordadas. Foram propostas algumas Lagrangianas e densidades Lagrangianas, que ao serem aplicadas nas equações de Euler-Lagrange, resultaram tanto as equações de condução de calor na sua forma inteira, quanto na forma deformada.