Desenvolvimento de uma nova proposta matemática e computacional para a metodologia da matriz densidade tight-binding ordem-N

Abstract

Neste trabalho é desenvolvido, em um contexto abrangente, uma fundamentação matemático computacional para a metodologia de cálculo de estrutura eletrônica conhecido como Método da Matriz Densidade Eletrônica Tight Binding - DMTB. A abordagem adotada deixa claro que a formulação matemática final deste método é completamente dependente das estratégias computacionais que se escolhem para a sua implementação. Desta forma, o DMTB fica estabelecido como um modelo matemático-computacional de formulação final variável. Nossa formulação usa uma estratégia computacional baseada em algoritmos de Gradientes Conjugados não linear (NLCG). O modelo final obtido é ligeiramente diferente do DMTB que foi apresentado originalmente na literatura pelo grupo de Vanderbilt, estando em acordo com a versão apresentada por Millam e Scuseria, em 1997. Nosso desenvolvimento exigiu considerar temas não standard, tanto da Matemática, quanto da Computação Numérica, tais como funções com domínios em espaços matriciais e o desenvolvimento de técnicas de cálculo diferencial nestes espaços, e modificações na estrutura do NLCG. A abordagem utilizada desenvolve os aspectos matemáticos visando a efetiva implementação computacional da metodologia. Com isso, tendo em vista que os avanços tecnológicos e os conhecimentos científicos devem estar intimamente relacionados, a presente dissertação pretende preencher uma lacuna na literatura especializada, uma vez que não existem textos com objetivos pedagógicos ou que se associem de forma natural com a modelagem matemática e computacional do DMTB.