Revisitando os formalismos fracionários de riemann-liouville e caputo: uma proposta para abordagem no ensino superior.

Abstract

Operadores de Derivadas e integrais fracionários são definidos como derivadas e integrais de ordem não inteira. O conceito de conceito de cálculo fracionário ou fracional, que significa mais geralmente integrais e derivadas de ordem arbitrária, seja real ou complexa foi uma questão que surgiu a partir de uma pergunta formulada pelo matemático francês Marquis de L’Hôpital a Wilhelm Leibniz: "O quê ocorreria com o operador derivada se a ordem deste fosse 0,5 ?"Ao que Leibiniz respondeu : "Esse é um paradoxo aparente, do qual consequências úteis serão estabelecidas". Nosso trabalho revisita algumas definições clássicas de operadores de derivada e integral fracionários e aponta eventuais aplicações em áreas como a Engenharia, Física, dentre outras. Nosso objetivo é analisar a viabilidade de implementar esse conteúdo em um programa forma de graduação em Física. Entre estas definições iremos nos ater mais centralmente nas de Riemann - Liouville e Caputo, entretanto outras definições tambémsão comentadas, contudo em nível menos profundo, são elas: Grünwald - Letnikov, Weyl, Marchaud, Jumarie, Hadamard, Chen e etc. Nesse trabalho iniciamos com uma inspeção histórica do nascimento do cálculo fracionário, paralelos com o cálculo diferencial e alguns de seus desdobramentos são traçados. Focando sempre nas definições de Riemann-Liouville e Caputo, mais comumente encontradas na bibliografia da área e mais frequentes em trabalhos científicos. Alguns exemplos de sua operacionalidade são apresentados, como o cálculo direto de derivadas de função constante, função polinomial e função exponencial. Também estudamos o formalismo variacional fracionário denominado FALVA 1, este obtido mais recentemente. Um paralelo com a função de dissipação de Rayleigh é traçado e ao final fazemos uma análise conclusiva sobre a viabilidade da implementação deste formalismo em um curso regular de graduação de Física.